Application of R-based multiple seasonal ARIMA model to predict tuberculosis incidence in Shanxi province
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摘要:目的 应用自回归移动平均（ARIMA）乘积季节模型对山西省2022和2023年结核病发病率进行预测，为结核病防控提供参考依据。方法 收集《中国疾病预防控制信息系统-结核病管理信息系统》2010—2021年山西省结核病月发病率数据，进行模型构建和检验。 基于2010—2020年结核病月发病率数据使用R 4.1.0软件构建ARIMA乘积季节模型，并用2021年月发病率检验模型，同时预测山西省2022和2023年结核病流行趋势。结果 2010—2021年山西省共报告结核病患者191517例，发病率由68.29/10万下降到23.74/10万，总体呈下降趋势。 每年的1、2、10月发病率较低， 3—6月发病率较高，尤其以冬春交替之际发病率最高。根据2010年1月至2020年12月结核病月发病率拟合出ARIMA（0，1，1）（1，1，1）12模型，该模型的赤迟信息量准则、均方根误差、平均绝对百分比误差和平均绝对误差分别为202.07、0.49、9.19、0.33。 通过检验发现该模型的平均绝对百分比误差为11.34%，预测2022年山西省结核病发病率在0.51/10万～2.12/10万，2023年在0.18/10万～1.81/10万，呈下降趋势。结论 ARIMA（0，1，1）（1，1，1）12模型对山西省结核病的预测效果较好，在结核病的防控中具有现实意义。
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关键词:
- 自回归移动平均乘积季节模型 /
- 预测 /
- 结核病
Abstract:Objective To apply the autoregressive integrated moving average(ARIMA) multiplicative seasonal model in the prediction of tuberculosis (TB) in Shanxi province in 2022 and 2023, and provide reference for TB prevention and control.Methods The monthly incidence data of TB in Shanxi from 2010 to 2021 were collected from China Disease Prevention and Control Information System-Tuberculosis Management Information System. Based on the monthly data of TB incidence in Shanxi from 2010 to 2020, the multiple seasonal ARIMA model was constructed by using R 4.1.0 software , and the model was tested with the monthly incidence data of 2021. Besides, an optimal model was established to predict the incidence trend of TB in Shanxi in 2022 and 2023.Results From 2010 to 2021, a total of 191 517 cases of TB were reported in Shanxi, and the incidence rate dropped from 68.29/100 000 to 23.74/100 000, showing an overall downward trend. The incidence was lower in January, February and October and higher from March to June, especially in the late winter and early spring, the incidence was highest. Based on the monthly incidence of TB from January 2010 to December 2020, the ARIMA (0,1,1) (1,1,1)12 model was fitted, and AIC, RMSE, MAPE and MAE of the model were 202.07, 0.49, 9.19, and 0.33, respectively. The testing results suggested that the average absolute error percentage of the model was 11.34%, the incidence of TB in Shanxi was predicted to be (0.51−2.12)/100 000 in 2022 and (0.18−1.81)/100 000 in 2023.Conclusion ARIMA (0,1,1) (1,1,1)12 model has a good prediction power on TB in Shanxi, which has practical significance in the prevention and control of TB. -
结核病是一种传染性疾病，是引起健康损害的主要原因［1］，是全球主要死因之一，也是目前仅次于新型冠状病毒感染单一传染源致死原因［2］。据《全球结核病报告2021》显示，因受新型冠状病毒感染大流行的影响，估计2020年全球新发结核病患者990万，中国（占8.5%）已成为仅次于印度（26%）的全球30个结核病高负担国家之一［2］。山西省结核病发病率在全国虽呈现低流行的特点［3］，但结核病在山西省内仍位居传染病前5位［4］，是山西省重大传染病之一［5］。
既往针对山西省结核病的研究多基于横断面资料以分析疾病的流行特征［6–8］，而依据纵向的时间序列数据对结核病的发病率进行预测是实现精准预防的重要前提。由于传染病的影响因素较多，而时间序列可将这些因素统一用时间变量来代替，自回归移动平均（autoregressive integrated moving average，ARIMA）模型作为其中一种流行的方法，对存在季节效应的时间序列ARIMA乘积季节模型具有较好的适用性，近年来广泛用于手足口病、肺结核、新型冠状病毒感染等传染病的预测［9–13］。因此，本研究拟通过山西省2010－2021年报告的结核病月发病率建立并评价ARIMA乘积季节模型，选择最优模型以预测2022和2023年的发病率，为制定结核病监测与防控策略提供参考依据。
1. 资料与方法
1.1 资料来源
发病资料来源于《中国疾病预防控制信息系统–结核病管理信息系统》，收集山西省报告的结核病发病人数（2010年1月至2021年12月）资料。人口资料来源于山西省统计年鉴（2021年）。
1.2 研究方法
ARIMA模型是由Box和Jenkins在20世纪70年代提出的一种时间序列的预测方法［14］，其基本思路是将一个随着时间形成的序列视为一组随机序列，用数学模型对其进行描述，从而根据已发生的序列值来预测未来值［15］。ARIMA模型主要有5种，分别为AR（p）模型、MA（q）模型、ARMA（p，q）模型、ARIMA（p，d，q）模型和ARIMA（p，d，q ）（P，D，Q）s模型。其中ARIMA（p，d，q）（P，D，Q）s模型能将时间序列中非季节性与季节性因素相结合，模型中p和q分别代表非季节自回归阶数和移动平均阶数，P和Q分别代表季节自回归阶数和移动平均阶数，d为非季节差分阶数，D为季节差分阶数，s为周期，由于大多数传染病都有季节周期，因此，经常使用ARIMA（p，d，q）（P，D，Q）s模型对传染病的流行趋势进行预测。
1.3 建模步骤
利用2010年1月至2020年12月结核病分月发病率用于构建时间序列模型，2021年月发病率用于检验模型。
1.3.1 序列的平稳化
将2010年1月至2020年12月结核病月发病率绘制时序图。根据时序图进行差分和（或）季节差分；通过增强迪基–福勒（augmented dickey-fuller，ADF）检验差分后的时间序列的平稳性，通过平稳性检验（P<0.05）。
1.3.2 模型识别
据自相关函数（autocorrelation function， ACF）图和偏自相关函数（partial autocorrelation function， PACF）图截尾或拖尾的情况对p，q的阶值进行估计，d和D根据差分结果确定， P和Q超过2阶的情况很少见，可由0到2从低阶到高阶试验［16］，s为12。
1.3.3 参数选择与模型诊断
运用最大似然估计法（maximum likelihood estimation，MLE）对模型参数进行选择，然后对模型的残差序列进行白噪声检验，再通过对比备选模型的赤迟信息量准则（akaike information criterion，AIC），AIC值越小模型越简洁［17–18］。
1.3.4 模型评价与检验
计算模型的均方根误差（root mean square error，RMSE）、平均绝对百分比误差（mean absolute percentage error，MAPE）和平均绝对误差（mean absolute error，MAE），以RMSE、MAPE、MAE值较小为拟合良好的标准评价预测效果［19］。使用2021年月发病率对模型进行检验。
1.3.5 模型预测应用
以最优模型对山西省2022和2023年结核病发病率进行预测。
1.4 统计学分析
本研究用Excel 2019软件建立数据库，用R 4.1.0软件进行数据处理和建立模型，以P<0.05为差异有统计学意义。
2. 结果
2.1 山西省结核病流行趋势
2010年1月至2021年12月山西省共报告结核病191517例。年发病率从68.29/10万下降至23.74/10万，下降了65.24%。通过时间序列图可以看出整体呈现下降的趋势（图1），提示该序列为非平稳时间序列。每年的1、2、10月发病率较低， 3－6月发病率较高，尤其以冬春交替之际发病率最高，呈现春季高发的特点（图2）。
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图 2 2010－2020年山西省年结核病发病率月份分布Figure 2. Monthly distribution of TB incidence rate in Shanxi, 2010−20202.2 ARIMA乘积季节模型构建
2.2.1 序列平稳化
由图1的时序图可以看出时间序列图呈现非平稳状态。通过非季节性、季节性差分获得一个平稳的时间序列图（图3）。平稳性检验结果显示：差分后的序列通过平稳性检验（t=−7.11， P=0.010）。
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图 3 非季节性差分、季节性差分后的时间序列Figure 3. Time series diagram after non-seasonal difference and seasonal difference2.2.2 模型识别
根据差分的结果，初步确定为ARIMA（p，1，q ）（P，1，Q ）12模型。自相关图和偏自相关图显示，滞后项为一阶时有一个比较明显的自相关，而当滞后阶数逐渐增加时，偏自相关逐渐减小至零（图4）。因此可以考虑ARIMA（0，1，1）（P，1，Q）12模型。P、Q由0、1、2逐渐尝试得到。
2.2.3 参数选择与模型诊断
根据以上信息和统计学检验结果，选择3个候选模型，其参数估计值和Ljung-Box残差检验结果。ARIMA（0，1，1）（1，1，1） 12模型的AIC值最小为202.07，模型最简洁，见表1。
表 1 候选模型的参数值Table 1. Index of potential models参数 ARIMA （0，1，1）（0，1，1） 12 ARIMA （0，1，1） （1，1，1） 12 ARIMA （0，1，1）（0，1，2） 12 估计值 标准误 估计值 标准误 估计值 标准误 ma1 −0.85 0.05 −0.87 0.05 −0.86 0.05 sar1 – – 0.27 0.16 – – sma1 −0.64 0.12 −0.90 0.25 −0.63 0.12 sma2 – – – – −0.14 0.11 AIC 202.52 202.07 202.81 Ljung-Box 0.89 0.60 0.72 残差检验P值 注：ARIMA. 自回归移动平均；AIC. 赤迟信息量准则； –. 表示模型中不存在对应的系数 2.2.4 模型评价与检验
ARIMA（0，1，1）（1，1，1） 12模型的RMSE值为0.49、MAPE值为9.19、MAE值为0.33，在候选模型中均最小（表2），为最优模型。通过对山西省2021年结核病发病率真实值与预测值的比较（表3），发现1月和2月的相对误差较大，3月较小，分别为26.29%、31.75%、1.05%，平均为11.34%。
表 2 候选模型评价Table 2. Evaluation of potential models参数 ARIMA （0，1，1）（0，1，1） 12 ARIMA （0，1，1）（1，1，1） 12 ARIMA （0，1，1）（0，1，2） 12 RMSE 0.51 0.49 0.50 MAPE 9.57 9.19 9.39 MAE 0.34 0.33 0.34 注：ARIMA. 自回归移动平均；RMSE. 均方根误差；MAPE. 平均绝对百分比误差；MAE. 平均绝对误差 表 3 最优模型对2021年山西省结核病发病率预测并与真实值比较Table 3. Comparison of actual and predicted incidence of TB in Shanxi based on optimal model, January-December, 2021月份 真实值 预测值 95%CI 相对误差（%） 1 1.71 1.26 0.24～2.28 26.29 2 1.23 0.84 −0.19～1.86 31.75 3 2.31 2.33 1.30～3.37 1.05 4 2.28 2.23 1.18～3.27 2.38 5 1.97 2.28 1.23～3.33 15.66 6 2.21 2.52 1.46～3.57 13.83 7 2.13 2.16 1.10～3.23 1.63 8 2.15 2.01 0.94～3.09 6.34 9 2.17 2.04 0.96～3.13 5.77 10 1.62 1.53 0.44～2.62 5.78 11 1.70 2.05 0.95～3.15 20.48 12 2.25 2.13 1.03～3.24 5.14 2.2.5 模型预测应用
用“forecast”函数对山西省2022和2023年结核病发病率进行预测，2022年发病率在0.51/10万～2.12/10万，2023年发病率在0.18/10万～1.81/10万，呈下降趋势，原始序列与拟合序列一致，ARIMA（0，1，1）（1，1，1） 12可用于山西省结核病发病率的预测（图5）。
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图 5 ARIMA（0，1，1）（1，1，1）12模型对山西省结核病发病率拟合及预测Figure 5. Fitted graph of ARIMA（0，1，1）（1，1，1） 12 in the prediction of TB incidence in Shanxi province in 2022 and 20233. 讨论
目前用于传染病预测的模型主要有时间序列模型、人工神经网络、马尔科夫模型及灰色模型［20］。然而，良好的预测结果的很大程度上依赖于模型的选择——通过充分挖掘数据的内在特征实现疾病的精准预测。其中时间序列模型，将疾病的影响因素用时间变量来统一替代，而慢性传染病的影响因素在短期内不会发生较大的改变，因此非常适合慢性传染病短期预测［21］。ARIMA模型作为一种流行的时间序列预测方法，既有回归分析的特点又有移动平均的优点，对带有季节周期性的时间序列ARIMA乘积季节模型具有较好的适用性：通过对时间序列进行分解，观察总体趋势、季节效应、随机波动的影响，由于其具有适用范围广、实用性强、预测精确度高、预测效果优于回归模型的特点［22］，因此在医学领域多用于传染病预测［9］。
本研究通过山西省2010－2021年报告的结核病月发病率建立ARIMA乘积季节模型发现，2010年1月至2020年12月山西省结核病发病率总体呈下降趋势，与全国及其他省（市）研究结果基本一致［23–26］。由此可见，山西省结核病流行得到了一定程度控制。此外，山西省每年的1、2、10月发病率较低， 3－6月发病率较高，尤其以冬春交替之际发病率最高。与言晨绮等［16］、林淑芳等［27］研究一致，我国肺结核发病集中在冬末春初时节，每年2月发病呈现明显低谷，可能与中国两个长假日“春节”与“国庆节”有关，节日期间就诊患者较少，而节后会出现反弹现象，即所谓的“春节效应”［28–29］，山西省结核病的发病特点同样可能是“春节效应”所致。提示在结核病发病高峰期到来之前准备医疗资源、及早采取防控措施具有预见性和主动性。
进一步对山西省2021年结核病发病率真实值与预测值进行比较发现，1月和2月的相对误差较大，分别为26.29%、31.75%，而3月相对误差最低，仅为1.05%。分析其原因：由于新型冠状病毒感染大流行逆转了多年来在提供基本结核病服务和减轻结核病负担方面取得的进展，全球新诊断和报告的结核病病例数由2019年的710万例下降到2020年的580万例［1］，山西省亦不例外，发病数由2019年的11492例下降到2020年的9459例，1－12月月发病率由2019年的2.18/10万～3.21/10万下降到2020年的1.14/10万～3.13/10万，尤其是2020年1月和2月的发病率只有1.56/10万和1.14/10万，3月开始上升，后逐渐恢复，因此拟合的ARIMA模型在预测时，2021年1月和2月的发病率较低，而实际发病率较高，最后比较时相对误差较大。
肺结核传播的因素众多，包括经济、人口、教育以及环境因素［30］，因此各地结核病流行特征不尽相同，所建立的最优模型以及预测效果也有差别［31–33］。山西省经济发展通常以煤炭、钢铁、火电和煤化工为主， 2019年空气综合指数在全国排名倒数第一［34］。本研究利用山西省2010－2020年结核病月发病率数据，建立最佳模型为ARIMA（0，1，1）（1，1，1） 12。2010－2020年山西省结核病发病率MAPE为9.19%，2021年为11.34%，属于模型外推的正常结果，一般认为MAPE低于10%～15%模型预测精度较好［35］。
本研究存在局限性。本次研究中ARIMA（0，1，1）（1，1，1）12模型是通过近十年的数据拟合的，结果表明该模型对结核病的短期预测结果较好，但没有考虑经济、人口、教育和环境等因素。因此今后的研究中要继续更新结核病发病率数据，对模型的参数不断进行修正，提高预测的精确度；同时，将影响结核病发病率的因素纳入预测模型，获得一个更加准确的结核病预测模型，通过预测结核病的流行趋势，有利于卫生行政部门提前采取预防措施，对个人的健康和社会的发展具有重要意义。
综上所述，ARIMA（0，1，1）（1，1，1）12模型对山西省结核病的预测效果较好，在结核病的防控中具有现实意义。
利益冲突 所有作者均声明不存在利益冲突
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图 2 2010－2020年山西省年结核病发病率月份分布
Figure 2. Monthly distribution of TB incidence rate in Shanxi, 2010−2020
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图 3 非季节性差分、季节性差分后的时间序列
Figure 3. Time series diagram after non-seasonal difference and seasonal difference
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图 5 ARIMA（0，1，1）（1，1，1）12模型对山西省结核病发病率拟合及预测
Figure 5. Fitted graph of ARIMA（0，1，1）（1，1，1） 12 in the prediction of TB incidence in Shanxi province in 2022 and 2023
表 1 候选模型的参数值
Table 1 Index of potential models
参数 ARIMA （0，1，1）（0，1，1） 12 ARIMA （0，1，1） （1，1，1） 12 ARIMA （0，1，1）（0，1，2） 12 估计值 标准误 估计值 标准误 估计值 标准误 ma1 −0.85 0.05 −0.87 0.05 −0.86 0.05 sar1 – – 0.27 0.16 – – sma1 −0.64 0.12 −0.90 0.25 −0.63 0.12 sma2 – – – – −0.14 0.11 AIC 202.52 202.07 202.81 Ljung-Box 0.89 0.60 0.72 残差检验P值 注：ARIMA. 自回归移动平均；AIC. 赤迟信息量准则； –. 表示模型中不存在对应的系数 
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表 2 候选模型评价
Table 2 Evaluation of potential models
参数 ARIMA （0，1，1）（0，1，1） 12 ARIMA （0，1，1）（1，1，1） 12 ARIMA （0，1，1）（0，1，2） 12 RMSE 0.51 0.49 0.50 MAPE 9.57 9.19 9.39 MAE 0.34 0.33 0.34 注：ARIMA. 自回归移动平均；RMSE. 均方根误差；MAPE. 平均绝对百分比误差；MAE. 平均绝对误差
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表 3 最优模型对2021年山西省结核病发病率预测并与真实值比较
Table 3 Comparison of actual and predicted incidence of TB in Shanxi based on optimal model, January-December, 2021
月份 真实值 预测值 95%CI 相对误差（%） 1 1.71 1.26 0.24～2.28 26.29 2 1.23 0.84 −0.19～1.86 31.75 3 2.31 2.33 1.30～3.37 1.05 4 2.28 2.23 1.18～3.27 2.38 5 1.97 2.28 1.23～3.33 15.66 6 2.21 2.52 1.46～3.57 13.83 7 2.13 2.16 1.10～3.23 1.63 8 2.15 2.01 0.94～3.09 6.34 9 2.17 2.04 0.96～3.13 5.77 10 1.62 1.53 0.44～2.62 5.78 11 1.70 2.05 0.95～3.15 20.48 12 2.25 2.13 1.03～3.24 5.14
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